학평 · 4점 · 오답률 72.1%

2026년 10월 고3 모의고사
수학 15번

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15.사차함수 $f(x)=x^4-10x^3+ax^2+bx$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$ 에 대하여

$f(4)-f(1)=f'(1)\times(x-1)-f'(4)\times(x-4)$ 이다.

(나) 실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=k(x-t)+f(t)$ 가 곡선 $y=f(x)$ 에 접하도록 하는 실수 $k$ 중에서 $|k|$ 의 최솟값을 $g(t)$ 라 하면 $g(0)=0$ 이다.

$f\!\left(\dfrac72\right)<0$ 일 때, $f(5)$ 의 값은? (단, $a,\ b$ 는 상수이다.) [4점]

정쌤 힌트

(가)는 모든 실수 $x$ 에서 성립하니까 계산하기 편한 $x$ 를 넣어 보세요. (나)의 $g(0)=0$ 은 $|k|$ 가 0이 될 수 있다는 뜻이에요. 그때의 직선이 어떤 모양인지부터 떠올려 보세요.

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(가) 항등식 → $a$
모든 $x$ 에서 성립하니까 $x=1$ , $x=4$ 를 넣으면
$\begin{aligned}f(4)-f(1)&=3f'(4)\\&=3f'(1)\end{aligned}$
그래서 $f'(4)=f'(1)$ . $f'(x)=4x^3-30x^2+2ax+b$ 로
$8a+b-224=2a+b-26$ $6a=198,\quad a=33$
(나) $g(0)=0$ 의 뜻
$t=0$ 을 넣으면 $f(0)=0$ 이라 직선은 원점을 지나요.
$y=kx+f(0)=kx$
$|k|$ 의 최솟값이 0이니까 $k=0$ 인 접선이 있어요. 원점을 지나니 아무 수평선 $y=c$ 가 아니라
$y=0$
이 직선과 곡선의 접점을 $(s,\,0)$ 이라 하면
$f(s)=0,\quad f'(s)=0$
기울기 최솟값 0 → 수평 접선 → 중근. 이 번역이 이 문제의 핵심이에요.
$s$ 후보 찾기
$s\cdot f'(s)-f(s)=0$ 에서 $b$ 가 지워져요.
$3s^4-20s^3+33s^2=0$ $s^2(3s-11)(s-3)=0$ $s=0,\ \tfrac{11}{3},\ 3$
$f\!\left(\tfrac72\right)<0$ 으로 고르기
$s=0$ 이면 $b=f'(0)=0$ 이라
$\begin{aligned}f(x)&=x^2(x^2-10x+33)\\&=x^2\{(x-5)^2+8\}\ge0\end{aligned}$
$f\!\left(\tfrac72\right)>0$ 이라 탈락이에요.

$s\ne0$ 이면 근 0, 중근 $s$ , 나머지 근 $r$ 로 놓아요.
$f(x)=x(x-s)^2(x-r)$
$x^3$ 의 계수가 $-10$ 이라 근의 합은 $2s+r=10$ 이에요.

$x=\tfrac72$ 에서 $x$ 와 $(x-s)^2$ 은 양수라 $f\!\left(\tfrac72\right)$ 의 부호는 $\tfrac72-r$ 이 정해요.

$s=\tfrac{11}{3}$ $r=10-\tfrac{22}{3}=\tfrac83$ , $\tfrac72>\tfrac83$ 이라 $f\!\left(\tfrac72\right)>0$ ✕ $s=3$ $r=10-6=4$ , $\tfrac72<4$ 라 $f\!\left(\tfrac72\right)<0$ ○
답 $f(x)=x(x-3)^2(x-4)$ $f(5)=5\cdot2^2\cdot1=20$
정답은 ④ 20

정쌤 손풀이 노트 보기

2026년 10월 고3 모의고사 수학 15번 문제와 정쌤의 손풀이 노트. 조건 (가)에서 a=33, 조건 (나)에서 y=0과의 접점 (s, 0)으로 s²(3s−11)(s−3)=0, f(7/2)<0으로 s=3을 골라 f(5)=20, 답 ④.

정쌤 한 장 요약

'모든 실수 $x$ ' 항등식이면 편한 $x$ 를 대입
접선 기울기 최솟값이 0 → 수평 접선 → $f(s)=f'(s)=0$ , 중근
후보가 여럿이면 주어진 부등식으로 하나씩 지우기

2026년 10월 고3 모의고사수학 15번

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