정쌤의 수학노트 @jeong.teacher
학평 · 4점 · 오답률 43.4%

2026년 10월 고3 모의고사
수학 14번

먼저 풀어 보세요. 정답을 고르면 해설이 열려요.

14.그림과 같이 반지름의 길이가 3인 원에 내접하는 사각형 ABCD에 대하여 AB‾=3 AD‾,CB‾=CD‾\overline{\mathrm{AB}}=3\,\overline{\mathrm{AD}},\quad \overline{\mathrm{CB}}=\overline{\mathrm{CD}} cos⁡(∠DCB)=13\cos(\angle \mathrm{DCB})=\frac13 이다.

A B C D

다음은 사각형 ABCD의 둘레의 길이를 구하는 과정이다.

삼각형 BCD에서 사인법칙에 의하여

BD‾=\overline{\mathrm{BD}}= (가)

이다. 삼각형 ABD에서 코사인법칙에 의하여

AD‾=\overline{\mathrm{AD}}= (나),   AB‾=3×\;\overline{\mathrm{AB}}=3\times (나)

이다. 삼각형 BCD에서 코사인법칙에 의하여

CB‾=CD‾=\overline{\mathrm{CB}}=\overline{\mathrm{CD}}= (다)

이다. 따라서 사각형 ABCD의 둘레의 길이는

AB‾+BC‾+CD‾+DA‾=4×\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{CD}}+\overline{\mathrm{DA}}=4\times (나) + 2×+\,2\times (다)

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p, q, rp,\ q,\ r이라 할 때, q×rp\dfrac{q\times r}{p}의 값은? [4점]

정쌤 힌트

(가)는 삼각형 BCD의 사인법칙 BD‾sin⁡C=2R\dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{\sin C}=2R로 바로 나와요. (나)를 구하려면 cos⁡A\cos A가 필요한데, 원에 내접하는 사각형의 마주 보는 두 각이 어떤 관계인지 먼저 떠올려 보세요.

해설은 정답을 고르면 열려요.

한 문제 더 · 살짝 어렵게

변형.반지름의 길이가 3인 원에 내접하는 사각형 ABCD에 대하여 AB‾=3 AD‾,CB‾=CD‾\overline{\mathrm{AB}}=3\,\overline{\mathrm{AD}},\quad \overline{\mathrm{CB}}=\overline{\mathrm{CD}} cos⁡(∠DCB)=13\cos(\angle \mathrm{DCB})=\frac13 일 때, 사각형 ABCD의 넓이는?

변형 문제 풀이

본 문제에서 구한 값으로 AB‾⋅AD‾=3x2=8\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AD}}=3x^2=8, CB‾⋅CD‾=y2=24\overline{\mathrm{CB}}\cdot\overline{\mathrm{CD}}=y^2=24예요. 마주 보는 두 각이라 sin⁡A=sin⁡C=223\sin A=\sin C=\tfrac{2\sqrt2}{3}이고, 대각선 BD로 나눈 두 삼각형의 넓이를 더하면

□ABCD=12⋅8⋅223+12⋅24⋅223=823+82=3223\begin{aligned}\square\mathrm{ABCD}&=\tfrac12\cdot8\cdot\tfrac{2\sqrt2}{3}+\tfrac12\cdot24\cdot\tfrac{2\sqrt2}{3}\\&=\tfrac{8\sqrt2}{3}+8\sqrt2=\tfrac{32\sqrt2}{3}\end{aligned}
cos⁡A=+13\cos A=+\tfrac13AD‾=2\overline{\mathrm{AD}}=2로 계산→ ④ 12212\sqrt2 12\tfrac12 빠뜨림삼각형 ABD에서→ ⑤ 4023\tfrac{40\sqrt2}{3} BCD만한쪽 삼각형만→ ① 828\sqrt2

정쌤이 만든 연습 문제예요.