학평 · 4점 · 오답률 29.3%

2026년 10월 고3 모의고사
수학 13번

먼저 풀어 보세요. 정답을 고르면 해설이 열려요.

13.다항함수 $f(x)$ 가 $f'(0)=1$ 이고 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)=\left(f'(x)+2\right)\left(f'(x)-2\right)$ 를 만족시킬 때, $f(4)$ 의 값은? [4점]

정쌤 힌트

괄호를 풀면 $f(x)=f'(x)^2-4$ . $f$ 가 다항함수이고 모든 $x$ 에서 성립하니까 양변의 차수가 같아야 해요. $f$ 가 몇 차인지부터 정해 보세요.

해설은 정답을 고르면 열려요.

해설 영상

식 펼치기
합차 공식으로 괄호를 풀어요.
$f(x)=f'(x)^2-4$
차수 맞추기
$f$ 가 $n$ 차면 좌변은 $n$ 차, 우변은 $2(n-1)$ 차예요.
$n=2(n-1)\;\Rightarrow\;n=2$
상수함수 $f(x)=-4$ 도 식은 맞지만 $f'(0)=0$ 이라 조건에서 빠져요.
2차식으로 놓기 $f(x)=ax^2+bx+c\quad(a\ne0)$
조건 $f'(0)=1$ 에서 바로
$b=1$
우변 정리 $\begin{aligned}f'(x)^2-4&=(2ax+1)^2-4\\&=4a^2x^2+4ax-3\end{aligned}$
계수 비교
좌변 $ax^2+x+c$ 와 한 항씩 맞춰요.

$x^2$ $a=4a^2$ → $a=\tfrac14$ ( $a\ne0$ ) $x$ $1=4a$ → $a=\tfrac14$ 일치 상수 $c=-3$

빠른 길: $x=0$ 을 넣으면 바로 $c=f(0)=-3$
답 $f(x)=\tfrac14x^2+x-3$ $f(4)=4+4-3=5$
정답은 ③ 5

정쌤 손풀이 노트 보기

정쌤 한 장 요약

변형.다항함수 $f(x)$ 가 $f(0)=-3$ 이고 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)=\left(f'(x)+2\right)\left(f'(x)-2\right)$ 를 만족시킬 때, 가능한 모든 $f(4)$ 의 값의 합은?

변형 문제 풀이

차수까지는 본 문제와 같아서 2차식이고, 계수를 비교하면 $a=\tfrac14$ , $c=b^2-4$ 예요. $b$ 를 정해 주는 조건이 없으면 아래 꼴이 모두 성립해요.

f(x)=\tfrac14x^2+bx+b^2-4

$f(0)=b^2-4=-3$ 이면 $b=\pm1$ , 함수가 두 개예요.

b=1

f(4)=4+4-3

=5

b=-1

f(4)=4-4-3

=-3

따라서 합은 $5+(-3)=2$ . 한쪽만 구하면 함정 보기 ①, ⑤에 걸려요.

정쌤이 만든 연습 문제예요.